Pembahasan contoh soal sudut antar dua vektor matematika SMA

Nomor 1
Diketahui dua vektor a = 2i + 2j - 2k dan b = 2i - 2j + k. Jika sudut yang dibentuk kedua vektor θ maka cos θ adalah....
A. - 1/3
B. - 1/3 √3
C. - 1/9 √3
D. 1/9 √3
E. 9 √3

Pembahasan
Tentukan terlebih dahulu a . b
a . b = (2i + 2j - 2k) . (2i - 2j + k) = 2 . 2 - 2 . 2 - 2 . 1 = 4 - 4 - 2 = -2
Menghitung besar |a|:
|a| = √(2² + 2² + (-2)² = √(4 + 4 + 4) = √12 = 2√3
Menghitung besar |b|:
|b| = √(2² + (-2)² + 1² = √(4 + 4 + 1) = √9 = 3
Jadi besar sudutnya:
a . b = |a| . |b| cos θ
-2 = 2√3 . 3 cos θ
-2 = 6√3 cos θ
cos θ = -2 / 6√3 = - 1/3√3 = - 1/9 √3
Jawaban: C

Nomor 2
Diketahui dua vektor a = 2i + 2j - 2k dan b = 2i - Rj + k saling tegak lurus. Nilai R adalah.....
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4

Pembahasan
Tentukan terlebih dahulu a . b
a . b = (2i + 2j - 2k) . (2i - Rj + k) = 2 . 2 - 2 . R - 2 . 1 = 4 - 2R - 2 = 2 - 2R

Karena tegak lurus berarti θ = 90 maka:
a . b =  |a| . |b| cos θ
2 - 2R = |a| . |b| cos 90
2 - 2R = |a| . |b| . 0
2 - 2R = 0
2R = 2
R = 2/2 = 1
Jawaban: B

Nomor 3
Diberikan vektor sebagai berikut:

Jika vektor a dan b saling tegak lurus maka nilai X adalah...
A. - 28
B. - 22
C. - 12
D. 0
E. 2

Pembahasan
Dalam bentuk biasa, kedua vektor sebagai berikut:
a = i + 2j + 3k
b = Xi + 5j + 5k
Kedua vektor saling tegak lurus sehingga θ = 90.

Tentukan terlebih dahulu a . b
a . b = (i + 2j + 3k) . (Xi + 5j + 6k) = X + 2 . 5 + 3 . 6 = X + 10 + 18 = X + 28
Jadi nilai X:
a . b =  |a| . |b| cos θ
X + 28 = |a| . |b| cos 90
X + 28 = 0
X = - 28
Jawaban: A

Nomor 4
Vektor a = xi + 2k dan vektor b = xi - 2k. Jika kedua vektor saling tegak lurus maka nilai x adalah...
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5

Pembahasan
a . b =  |a| . |b| cos θ
(xi + 2k) (xi - 2k) = |a| . |b| cos 90
x² - 4 = 0
x² = 4
x = 2
Jawaban: B

Share this post